球类飞行弧线原理

本帖系笔者原创作品，现进行了部分补充、修改，重新发表，供球友参考。其主要内容于2019-6-7发表在“乒乓网”，原题目是《乒乓球飞行弧线及受力分析》，网址链接是https://www.pingpangwang.com/forum.php?mod=viewthread&tid=255676&highlight=���л���

所有运动项目的球类飞行轨迹有类似原理和表现，本帖主要以乒乓球为例，简单介绍一下球类飞行弧线的力学原理。

乒乓球的空间飞行运动受到各种力的综合作用，这些力至少包括重力、浮力、阻力和Magnus力等四种。此外，还有一个很重要的影响因素，就是飞过来的乒乓球自身固有的运动属性。这虽然不是乒乓球飞行时受到的作用力，但却反映了乒乓球飞行起点的受力状况（击球力），因而对乒乓球的飞行弧线有着举足轻重的影响。例如它能决定出球的球速、出球角度与方位、转速、旋转方向、出球点的空间位置等等。

首先，所有的来球一定是受到了对方一个击球力才会向我们飞过来的。这个力很大，大到“唯我独尊”的地步，所以击球时只考虑它的作用，其它所有力都可忽略不计。当球被击出脱拍飞行时，这个力就不起作用了。而其它的力则开始显现影响，改变飞行弧线。下面对球飞行期间受到的几个主要作用力一个一个分别考察。

下面对球飞行期间受到的几个主要作用力分别介绍。

1 （一维）匀速直线运动（飞行时不受力）

如果球被击出后没受到任何作用力，它的飞行轨迹就是一条直线。

根据牛顿力学第一定律，一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动或静止状态。乒乓球被击出以后，如果没受到任何外力，则会沿笔直方向作惯性运动。就像图中小朋友击出的球，会直接飞出窗外，进入茫茫太空直至消失，永远不会落台。

图一 击出后的球不受力

2 （二维）理想抛物线（只受重力）

如果被击出的球只受到重力作用，它的飞行轨迹就是一条理想抛物线。

图二中球从左向右运动。当球心运动到o点时，具有速度oa，可分解为竖直速度ob和水平速度oc，因为受到一个持续不断的竖直向下的重力ow（红色箭头）影响，会导致竖直向上的速度不断降低直至为零再掉头向下，而水平速度不受影响（参见图三）。所以球心会沿着抛物线运动，直至落台。

图二 击出后的球只受重力

抛物线y = ax^2 bx c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x =- b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。下开口抛物线：y = - x^2。对称轴两边的抛物线图像是完全对称的。在不计阻力的理想情况下,斜上抛的物体的运动曲线是由完全对称的升弧和降弧组成的,它的运动轨迹是理想抛物线，这种运动叫做“斜上抛运动”。根据运动独立性原理,可以把斜上抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。

对于速度慢、自身质量大的篮球、铅球等等。投出后的铅球，投篮后篮球的运动线路都近似为理想抛物线（参见图三）。

图三 投篮时的抛物线轨迹

对于速度快、自身重量很轻的飞行乒乓球而言，空气阻力是不可忽略的。所以理想抛物线，即普通的斜抛或平抛运动曲线并不适合描述乒乓球的飞行状况。

3 （二维）弹道曲线（只受重力和空气阻力）

如果被击出的球只受到重力和空气阻力作用，它的飞行轨迹就是一条弹道曲线。

由于重力和空气阻力的共同影响，使弹道形成不均等、不对称的弧线。

图四 加农炮弹道曲线

对于速度快、空气阻力不可忽略的炮弹、子弹、导弹等等，其运动曲线与标准抛物线存在着显著的差异。例如加农炮理想射程为46公里，实际射程只有13公里。

对于只考虑重力和空气阻力的乒乓球不转球，其飞行弧线与弹道曲线相似。其升弧较长而直伸，降弧则较短而弯曲。其射程和射高都没有按抛物线计算得到的值那么大，长度要短很多（参见图四、图五），当然运动轨迹也不会是理想抛物线。

乒乓球在空气中运动受到的阻力方向始终与飞行方向相反，其大小可根据下式估算：

fd = 1/2*CdρAv^2。一般认为，乒乓球飞行阻力与球速的平方成正比。乒乓球飞行属于高雷诺数运动，其风阻系数C可近似看成常数0.44。空气阻力与球速的大小和迎风面积有密切关系。简单说就是球越大阻力越大，球速越大阻力越大。

图五 飞行中的乒乓球受空气阻力和重力共同影响的受力分析图

图五中球从左向右运动。当球心运动到A点时，具有速度AB（绿色箭头），可分解为竖直速度AB1和水平速度AB2，因为受到一个持续不断的竖直向下的重力AW（红色箭头）影响，会导致竖直向上的速度不断降低。同时还受到一个空气阻力AC（蓝色箭头），可分解为竖向阻力AC1和水平阻力AC2，这会导致乒乓球运动竖直向上的速度和水平飞行速度不断降低。竖直向上的速度不断降低至零以后，速度方向会掉头向下。所以球心会沿着弹道曲线运动，直至落台。重力AW和空气阻力AC的双重作用，最终使飞行曲线比理想抛物线的射高和射程都会减小。

4 乒乓球曲线（只受重力、空气阻力和玛格努斯力影响）

如果被击出的球受到重力、空气阻力和玛格努斯力的共同作用，它的飞行轨迹就是一条更复杂三维空间曲线，我们可称之为乒乓球曲线。

乒乓球总是边转边飞的，高速旋转的乒乓球会受到玛格努斯力的影响，这是一个横向力，其方向垂直于球的旋转矢量方向和飞行方向形成的平面，可用右手法则来确定。其大小可根据下式计算：Fm =1/2*Cs*ρA*rωv。一般认为，乒乓球旋转球飞行所受的马格努斯力与球速和转速成正比。

比如强烈上旋的弧圈球，飞行中其速度与方向OA受到三个向下的力(重力OW、空气阻力OB、玛格努斯力OM)共同作用，其飞行曲线弯曲度更大，下坠速度更快，射程更短，入射角大，上台率高（参见图七）。足球落叶球原理与此类似。

图六 弧圈球受力情况图

再比如左侧旋球，飞行中受到的玛格努斯力（即紫色箭头OM）横向向右（参见图七），其飞行曲线向右弯曲（参见图八）。右侧旋球恰好相反。足球中的香蕉球、圆月弯刀球均与此原理类似。

图七 左侧旋球受力情况图

图八 不转球 侧旋球动图

图八动画中间是不转球，左边是右侧旋球，右边是左侧旋球的飞行轨迹动画。

综上所述，影响飞行弧线最重要的是三个力：重力，始终向下；空气阻力，始终与飞行方向相反；玛格努斯力，始终与飞行方向垂直，是横向力，指向飞行方向的上下左右。其中重力是恒力，后二者都是变力。飞行中的乒乓球受到每个力都会影响其飞行方向和速度，导致飞行弧线向受力方向的偏移、弯曲变化。

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